Образовательный проект

"Математика. Психология. Интеллект"(МПИ)


Материалы для учителей

Материалы предоставил Наум Иосифович Зильберберг (г. Псков), заслуженный учитель РФ, кандидат педагогических наук, доцент, заведующий лабораторией развития математического образования ПОиПКРО.


 

5-ый класс


1. Изучаем свойства среднего арифметического (презентация):

http://zilberberg.ru/load/urok_quot_izuchaem_i_primenjaem_svojstva_srednego_arifmeticheskogo_quot/2-1-0-85


2. Описание методики подготовки урока-исследования «Изучаем свойства среднего арифметического»
http://zilberberg.ru/load/opisanie_podgotovki_provedenija_i_kratkij_samoanaliz_uroka/2-1-0-86

            Там же видеозапись урока.


 

Исследовательские задания для шестиклассников


Комментарии для учителей

Отметим некоторые особенности исследовательских заданий, которые могут быть предложены шестиклассникам:

1. Задания, которые связаны с тем, что изучается на уроках математики.

2. Так как шестиклассники любят фантазировать, то должны быть предложены такие задания, при выполнении которых они имеют возможность проявить это качество.

3. Задания должны учить школьников с разными видами информации, работать на компьютере.

4. Формировать положительную мотивацию к математике и учебе в целом.

5. Должны способствовать овладению общими методами решения (метод перебора, принцип Дирихле, правило крайнего, примени свойство четности, составь и реши уравнение, построй контрпример и др.) и составления задач.

6. Развивать критическое мышление путем организации обсуждений, предлагаемых учениками и выполнением специальных заданий.

7. Учить профессионально работать с разными элементами математических текстов: задачи, утверждения.

8. Задачи должны быть доступными для учащихся.

9. Вместе с тем задачи должны: долго не получаться, иметь разные подходы к решению, легко могут быть использованы для обучения составлению задач, могут быть построены на разных ситуациях известных и понятных школьниками.

10. Задачи должны входить в классический фонд олимпиад разного уровня.

 


Примеры

Задание 1.
На столе лежали три стопки монет из 19 монет, 23 монет и 29 монет. В одной из них одну монету заменили монетой другого веса, внешне не отличающейся от остальных. Как при помощи чашечных весов без гирь за одно взвешивание найти стопку, в которой все монеты одинаковые. Составьте аналогичное задание.

Комментарии. Основной исследовательский потенциал задания связан с тем, что могут быть предложены разные варианты распознавания и составление не только аналогичных, но и увеличение числа взвешиваний, что позволяет сформулировать дополнительные требования к результатам поиска.

 

Задание 2. Из десяти карточек с цифрами 0, 1, 2, …, 9 сложили десятизначное число 1980237456, а потом нашли сумму всех двузначных чисел, образовавшихся цифрами, стоящими рядом. Получилось 19+98+80+02+23+37+…+56=434. Для какого расположения цифр такая сумма будет наибольшей, а для какого наименьшей? (К. 1997. 2).

Комментарий. Школьники могут провести эксперимент и сравнить результаты.

 

Задание 3. Сочините сказку, в которой используются дроби.

 

Задание 4. Две команды играют в волейбол до четырех побед. Сколько существует разных вариантов прохождения игры?

Комментарий. Следует учесть, что в волейболе не бывает ничьих. Школьники должны спланировать и реализовать полный перебор.

 

Задание 5. Автомобиль собирается пересечь пустыню. Его машина тратит 1 л бензина на 10км пути. Автомобилист имеет 168 л бензина, но с собой может взять не более 42л. Он может, однако, преодолеть 420 км, оставляя на пути следования части бензина и возвращаясь обратно для пополнения бензина и возвращаясь для пополнения бензобака. Пустыню, какой наибольшей ширины может он пересечь?

Комментарий. Школьники должны спланировать маршрут и доказать, что удастся пересечь пустыню. Следует помнить, что можно в один день проехать и оставить запас топлива, потом вернуться в исходный пункт.

 

Задание 6. Подтверждаются ли гороскопы?

Комментарии. Школьникам предстоит:

- построить модель того, что предсказывают гороскопы;

- построить модель того, что означает подтверждение гороскопа;

- проверить прогноз и его подтверждение на учениках класса;

- сформулировать выводы;

- выбрать способы представления результатов.

 

Задание 7. Математики нашего района.

Комментарии. При проведении данного исследования следует найти в сети Интернет выпускников школы, которые связаны с математикой. Это могут быть преподаватели вузов, учителя математики, выпускники и студенты математических факультетов.

 

Задание 8. Почему ученики шестых классов любят (не любят) математику?

Комментарии. Школьникам вместе с учителем математики и психологом предстоит определить то, каким образом они будут исследовать отношение школьников к математике.

 

Задание 9. Сравним разные учебники по математике для шестого класса.

Комментарии. Сравнение может идти по таким направлениям:

- темы математики в учебнике;

- виды задач в учебнике;

- оформление учебника;

- наличие указаний и ответов и др.

В седьмом классе это исследование может быть продолжено. На последующих этапах можно ввести и оценить реализацию функций учебника. Наличие оценок можно, применяя метод корреляционного анализа сравнить структуры учебников.

 

Задание 10. Математика в профессиях родителей учеников 6 класса.

 

Задание 11. Подготовьте «Сборник задач, составленных шестиклассниками».

Комментарии. Для выполнения этого исследования ученикам имеет смысл рекомендовать:

- провести опросы учащихся, цель которого определить запросы школьников к задачнику (это может быть: условия задач, указания разного уровня, ответы, решения некоторых задач);

- по каждой теме предлагать школьникам задания на составления задач;

- подготовить электронный вариант сборника задач (задачник может быть реализован в текстовом редакторе или с помощью специального пакета программных средств);

- провести эксперимент по применению сборника задач.


 

Исследовательские задания для семиклассников


Комментарии для педагогов

Возможности семиклассников в плане включения в исследовательскую деятельность больше, чем у учащихся 6-го класса. Еще одна предпосылка – изучение тем курса алгебры и геометрии. Любая тема по этим предметам представляет широкие возможности.

Вот общие возможные темы:

- разные определения понятий и изучение связей между ними;

- разные методы доказательства утверждений;

- формулировка и исследование справедливости обратных утверждений;

- формулировка и исследование истинности обобщений;

- общие методы решения и составления задач;

- исторические сведения;

- затруднения школьников и пути их предупреждения;

- использование информационных технологий для изучения математики;

- подготовка материалов на сайт школы;

- перевод содержания материала на иностранные языки и др.


Задание 1. Обобщение формул сокращенного умножения и их применение.
Комментарии. Здесь могут быть применены обобщения, связанные с изменением числа объектов и доказательством новых тождеств.


Задание 2. Из десяти карточек с цифрами 0, 1, 2, …, 9 сложили десятизначное число 1980237456, а потом нашли сумму всех двузначных чисел, образовавшихся цифрами, стоящими рядом. Получилось 19+98+80+02+23+37+…+56=434. Для какого расположения цифр такая сумма будет наибольшей, а для какого наименьшей? (К. 1997. 2).

Задание 3. Две команды играют в волейбол до пяти побед. Сколько существует разных вариантов прохождения игры?

Задание 4. Сформулируйте и докажите новые признаки равенства треугольников.

 

Комментарии. Здесь речь идет о доказательстве признаков равенства с другими элементами треугольников. Вот некоторые признаки:

 

1. Если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам второго треугольника, то треугольники равны.

2. Если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам второго треугольника, то треугольники равны.

3. Если две стороны и медиана, выходящая из общей вершины соответственно равны двум сторонам и медиане второго треугольника, то такие треугольники равны.

Лучше всего классифицировать признаки равенства по трем группам:

- два линейных и один угловой элемент;

- один линейный и два угловых элемента;

- три линейных элемента

Задание 5. Подтверждаются ли гороскопы?

Комментарии. Школьникам предстоит:

- построить модель того, что предсказывают гороскопы;

- построить модель того, что означает подтверждение гороскопа;

- проверить прогноз и его подтверждение на учениках класса;

- сформулировать выводы;

- выбрать способы представления результатов.

 

Задание 6. Предложите игру «Геометрия», играя в которую школьники изучат геометрию.

Задание 7. Почему ученики седьмых классов любят (не любят) алгебру (геометрию)?

Задание 8. Сравним разные учебники по математике для седьмого класса.

Задание 9. Математика в профессиях родителей учеников седьмых классов.

Задание 10. Неравенства и методы доказательств неравенств.


 

Исследовательские задания для восьмиклассников


Задание 1. Признаки подобия треугольников.


Задание 2. Методы решения уравнений.


Задание 3. Метод наименьших квадратов и его применение.


Задание 4. Сформулируйте и докажите новые признаки равенства треугольников.


Задание 5. Подтверждаются ли гороскопы?


Задание 6. О перестановке суперпозиций функций.


Задание 7. Почему ученики восьмых классов любят (не любят) алгебру (геометрию)?


Задание 8. Сравним разные учебники по математике для восьмого класса.


Задание 9. Математика в профессиях родителей учеников восьмых классов.


Задание 10. Сложность решения алгебраических уравнений.
 


Исследовательские задания для девятиклассников


Задание 1. Методы решения задач с параметром.


Задание 2. Методы решения уравнений.


Задание 3. Метод наименьших квадратов и его применение.


Задание 4. График многочлена третьей степени.


Задание 5. О перестановке суперпозиций функций.


Задание 6. Почему ученики девятых классов любят (не любят) алгебру (геометрию)?


Задание 7. Сравним разные учебники по математике для девятого класса.


Задание 8. Сложность решения задач на прогрессии.


Задание 9. Подготовка экспертной системы по образцам для учащихся, которые готовятся к ГИА
(http://zilberberg.ru/load/razrabotka_ehkspertnoj_sistemy_po_obrazcam_k_teme_programmy/5-1-0-81).